如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M为BD1的中点，N在A1C1上，且|A1N|=3|NC1|，则MN的

以D为顶点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD₁所在直线为z轴，如图：
正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为4，A₁（4，0，4），B（4，4，0），C₁（0，4，4），
M为BD₁的中点，所以M（2，2，2）；
N在A₁C₁上，且|A₁N|=3|NC₁|，所以N（1，3，4），

MN=（-1，1，2），
|

MN|=
(-1)2+12+22=
6．
故答案为：
6．