“一对兔子,出生后第二个月开始有生育能力,每月繁殖一对小兔子.问一对兔子一年中可繁殖出多少对兔子?

这是个斐波契纳数列,答案是144对.
1 1 2 3 5 8 13 21．．．．．
假设刚出生的雌雄一对小兔过两个月就能生下雌雄一对小兔,此后每月生下一对小兔.如果养了初生的一对小兔,问满一年时共可得多少对兔子
我们先退到开始的简单情况来推算,从中归纳出递推关系.如图:
第一个月:只有1对小兔.
第二个月:一对小兔长成一对大兔,但尚不会生殖.仍只有一对兔子.
第三个月:这对大兔生了一对小兔,这时共2对兔子.
第四个月:大兔又生了一对小兔,而上月出生的小兔正在长大,这时共3对兔子.
第五个月:这时已有两对大兔可以生殖(原来的大免和第三个月出生的小兔),于是生了两对小兔,这时共有5对兔子.
…
月份数
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
十三
…
兔对数
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
…
把推算的结果列成一张表
由表中可见满一年时可得144对兔子.
如果要算的时间长,这种方法就有困难了,现在我们来找递推关系.
用{un}表示第n个月时的兔子对数,则
{un}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,….
容易发现递推公式是
un= un-1+ un-2.
现在说明这个递推公式是正确的.因为第n个月时的兔子对分两类,一类是第n-1个月时的兔子对,另一类是当月新生的兔子对,而这些小兔对数恰好是第n-2个月时的兔子对数un-2.
有了上面的递推公式就可以写出{un}的第12项为144对.