抽象函数的定义域（高一数学）

问题描述：

抽象函数的定义域（高一数学）
先看下面一个例子
（1）已知函数f（x）的定义域为[0,1],求f（x2+1）的定义域.（其中x2表示x的平方）
（2）已知函数f（2x-1）的定义域为[0,1）,求f（1-3x）的定义域.
（1）∵函数f（x2+1）中的x2+1相当于函数f（x）中的x
∴-1≤x2≤0 ∴x=0 ∴f（x2+1）的定义域为{0}
（2）∵函数f（2x-1）的定义域为[0,1）,即0≤x＜1
∴-1≤2x-1＜1
∴f（x）的定义域为[-1,1）,即-1≤1-3x＜1
∴0＜x≤2/3 ∴f（1-3x）的定义域为（0,2/3]
现在我的问题是：为什么函数f（x2+1）中的x2+1相当于函数f（x）中的x?我的参考书里说解此类题目的关键是注意对应法则,在同一对应法则下,不管接受法则的对象是什么字母或代数式,其制约的条件是一致的,即都在同一取植范围内.那么,这个对应法则是什么,又是如何产生这个对应法则的?谁能有好的解释,
zxj_123 很感谢你的回答,但是在第二题方面,我还是有些不明白:利用了函数f（2x-1）的定义域为[0，1）算出了2x-1的范围-1≤2x-1＜1,但是对于函数f（1-3x）为什么有-1≤1-3x＜1,这难道不是两个不一样的函数吗?为什么前一个的范围能代到第二个里面去?希望你能再帮我解释一下,

1个回答分类：数学 2014-12-01

问题解答：

我来补答

抽象函数的意思就是对应法则没有给出.
你所注意的是函数的定义域和值域.比方说,函数f（x2+1）中的x2+1相当于函数f（x）中的x,这是因为此时对应法则施加的对象是x2+1而不是x!所以此时可以将x2+1看成是一个整体,令x2+1=t,则f(x2+1)=f(t),此时可以把f(x2+1)看成关于变量t的函数.实际上,这是一个复合函数即y=f(t),t=g(x)=x2+1,以后你会学到的.所以,这里说的整体法很重要,跟参考书上是一个意思.
第2题目更是体现了这一点.因为函数f（2x-1）的定义域为[0,1）是对于变量x而言,所以应先算出2x-1在[0,1）的值域,显然-1≤2x-1＜1 ,所以对于函数f（1-3x）有-1≤1-3x＜1
∴0＜x≤2/3 ,f（1-3x）的定义域为（0,2/3] 当然是关于变量x的.
补充:函数y1=f(2x-1)和y2=f(1-3x) 确实是两个不同的函数（如果你把x做为自变量的话）,但是如果你换元,令 u=2x-1,v=1-3x,则
y1=f(u),y2=f(v),那么他们就是同一个函数了.因为函数与自变量是u 或v无关,所以他们的定义域是相同的,u、v的变化范围正好是函数u=2x-1和v=1-3x的函数值的变化范围.楼主好好体会一下.例如,y=1+x^2 和y=1+t^2是同一个函数.

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