函数连续性定义中为什么不是去心邻域

问题描述：

函数连续性定义中为什么不是去心邻域
定义设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义,如果limΔx→0Δy=limΔx→0[f(x0+Δx)-f(x0)]=0,那么就称函数y=f(x)在点x0连续
这里有点搞不懂的为什么不是在点x0的某一去心邻域内有定义,以前的一些极限的定义不是一再强调去心邻域吗?
还有即然不是去心邻域,那么就是说x就有可能取x0,这时Δx=0,但定义中limΔx→0是不是不对了呀,因为Δx→0是指无限接近于0,却不等于0.但实际上,Δx可以完全是0,这是不是不对了呀

1个回答分类：数学 2014-10-10

问题解答：

我来补答

连续性中讨论的是邻域没错,这是为了保证连续性的定义中f(x0)有意义,和函数极限的定义没有什么关系,在连续性的定义中极限limΔx的意义没有变化,Δx仍然是不等于0的.从连续性的另一等价定义可以更清晰地反映这一点,f(x)在x0处连续的等价定义为,x趋于x0时极限limf(x)=f(x0),例如f(x)=sinx/x,它只在x=0的去心邻域内有定义,这不妨碍x趋于0时有极限limf(x)=1,但此时f(0)不存在,因此f(x)在x=0处不连续,如果补充定义f(0)=1,则f(x)在x=0的邻域内就有定义了,这样的f(x)在x=0处连续,而不加上补充定义的话,x=0就是f(x)所谓的可去间断点.

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