用反证法证明.设A＝﹙α1,α2,……αn﹚是n阶降秩矩阵,αj＝﹙a1j,a2j,……anj﹚' 是第j列列向量.设r﹙A﹚＝r＜n 则存在A的r阶子式D≠0,而阶大于r的子式全都等于零.为了方便,可设D为
左上角的一个r阶子式.看下面的n个r+1阶行列式 Mi ﹙i＝1,2,……n﹚
Mi＝
| a11 a12 ……a1r a1﹙r+1﹚|
| a21 a22 ……a2r a2﹙r+1﹚|
|………………………………… |
i| ar1 ar2………arr ar﹙r+1﹚|
| ai1 ai2 ………air ai﹙r+1﹚|
①当1≤i≤r时,Di有两行相同,Di＝0,
r＜i≦n时 Di是A的r+1阶子式,Di＝0
即这n个r+1阶行列式 Mi 全部都等于零.
②这n个r+1阶行列式 Mi ,它们的第r+i行元素的r+1个代数余子式,只与元素位置有关,而与i无关,记为C1,C2,……Cr,D,[注意最后一个正是那个D≠0]
把Mi按第r+i行展开,得到 ai1C1+ai2C2+……+airCr+ai﹙r+1﹚D＝0
或者C1ai1+C2ai2+……+Crair+Dai﹙r+1﹚＝0
让i从1跑到n.即得到C1α1+C2α2+……+Crαr+Dα﹙r+1﹚＝0﹙零向量﹚
C1α1+C2α2+……+Crαr+Dα﹙r+1﹚+0α﹙r+2﹚+……+0αn＝0﹙零向量﹚
注意D≠0 上时说明α1,……,αn线性相关,与A的列向量线性无关矛盾,∴矩阵A满秩.
[这类问题属于“基本理论”,每本教材都有论述.应该自己查课本.]
