a1 a2 a3是n维向量 a1+a2 a2+a3 a3+a1线性无关 证明a1 a2 a3也线性无关

只须证明它们可以互相线性表示.
令 b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a1 ,
则向量组｛b1,b2,b3｝可以用｛a1,a2,a3｝线性表示,
因为 b1+b2+b3=(a1+a2)+(a2+a3)+(a3+a1)=2(a1+a2+a3) ,
所以 a1+a2+a3=(b1+b2+b3)/2 ,
那么可得 a1=(a1+a2+a3)-(a2+a3)=(b1+b2+b3)/2-b2=(b1-b2+b3)/2 ,
同理得 a2=(b1+b2-b3)/2,a3=(b2+b3-b1)/2 ,
因此｛a1,a2,a3｝也可以用｛b1,b2,b3｝线性表示,
那么向量组｛a1,a2,a3｝与｛b1,b2,b3｝的秩相等,
由于 b1、b2、b3 线性无关,秩为 3 ,所以 a1、a2、a3 秩也为 3,即线性无关.