已知实n阶矩阵A具有n个两两不同的特征值.f（λ）=|λE-A| 是A的特征多项式.证明：矩阵f（A）=0

证明:设a1,a2,...,an是A的n个不同的特征值.
则存在可逆矩阵P,使 P^-1AP=diag(a1,...,an)=B(记为B)
即有 A=PBP^-1.
又 f（λ）=|λE-A|=(λ-a1)(λ-a2)...(λ-an).
所以
f(A)=(A-a1E)(A-a2E)...(A-anE)
=(PBP^-1-a1E)(PBP^-1-a2E)...(PBP^-1-anE)
=P(B-a1E)(B-a2E)...(B-anE)P^-1
=P0P^-1
=0
[注意此处 B-aiE 是对角矩阵,第i行第i列位置是0,i=1,2,...,n
对角矩阵的乘积是主对角线上对应元素相乘
而B-a1E,B-a2E,...,B-anE分别在a11,a22,...,ann位置为0
故其乘积等于0矩阵]
你也没分可加了!