已知函数f（x）=ax−1ax+1（a＞0且a≠1）．

（1）∵∀x∈R，都有a^x＞0，
∴a^x+1＞1，
故函数f（x）=
ax−1
ax+1（a＞0且a≠1）的定义域为实数集R．
∵f（x）=
ax−1
ax+1=1-
2
ax+1，
而a^x＞0，
∴a^x+1＞1，
∴0＜
2
ax+1＜2，
∴-2＜-
2
ax+1＜0，
∴-1＜1-
2
ax+1＜1．
即-1＜f（x）＜1．
∴函数f（x）的值域为（-1，1）．
（2）函数f（x）在实数集R上是奇函数．下面给出证明．
∵∀x∈R，f（-x）=
a−x−1
a−x+1=
1−ax
1+ax=-
ax−1
ax+1=-f（x），
∴函数f（x）在实数集R上是奇函数．
（3）∀x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=1-
2
ax1+1-（1-
2
ax2+1）=
2(ax1−ax2)
(ax1+1)(ax2+1)，
若a＞1，∴a^x₁+1＞0，a^x₂+1＞0，a^x₁-a^x₂＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴当a＞1时，函数f（x）在实数集R上单调递增．
若0＜a＜1，∴a^x₁+1＞0，a^x₂+1＞0，a^x₁-a^x₂＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴当0＜a＜1时，函数f（x）在实数集R上单调递减．