已知定义在R上的函数f(x)＝a−12x+1是奇函数，其中a为实数．

（1）∵定义在R上的函数f(x)＝a−
1
2x+1是奇函数，
∴f（0）=a-
1
2=0，∴a=
1
2 ．
（2）由（1）可得，f（x）=
1
2-
1
2x+1，它在定义域R上是增函数．
证明：设x₁＜x₂，
∵f（x₁）-f（x₂）=
1
2x2+1-
1
2x1+1=
2x1−2x2
(2x1+1)(2 x2+1)，
由题设可得0＜2x1＜2x2，2x1-2x2＜0，
∴
2x1−2x2
(2x1+1)(2 x2+1)＜0，故函数f（x）在R上是增函数．
（3）由于函数f（x）在R上是增函数，
故函数表示的曲线上任意两点连线的斜率大于零，
故当m≠n时，
f(m)−f(n)
m−n＞0，
换元可得
f(m)−f(−n)
m−(−n)＞0=f（0），
即
f(m)+f(n)
m+n＞f(0)．
∴要证的不等式成立．