求曲线根号下x+根号下y=1在[0,1]上的弧长.

√x+√y=1,显然x和y的范围都是0到1
即y=(1-√x)^2,
那么y'=2(1-√x)* (-0.5/√x)=1/√x -1
所以曲线的弧长等于
L=∫(上限1,下限0) √(1+y'²) dx
=∫(上限1,下限0) √[1+(1/√x -1)²] dx
=∫(上限1,下限0) √(1/x- 2/√x +2) dx 令√x=t,代入得到
=∫(上限1,下限0) √(1/t² - 2/t +2) d(t²)
=∫(上限1,下限0) 2√(1- 2t +2t²) dt
=∫(t的上限1,下限0) √2 *√ [(√2t-√2/2)²+1/2] d(√2t- √2/2)
由基本积分公式∫√(x²+a²)dx=(x/2)*√(x²+a²)+ (a²/2)*ln|x+√(x²+a²)|+C
可以知道
∫√2 *√ [(√2t-√2/2)²+1/2] d(√2t- √2/2) 在这里a²=1/2
=√2 * [1/2 * (√2t-√2/2)* √(1- 2t +2t²) +1/4 *ln|√2t- √2/2 +√(1- 2t +2t²)| ]+C
代入t的上下限1和0,
得到
原定积分
=√2 * { [√2/4+1/4*ln(1+√2/2)] - [-√2/4+1/4*ln(1-√2/2)] }
=1+ √2/4 *[ln(1+√2/2) - ln(1-√2/2)]
=1+ (1/2√2)* ln[(1+√2/2)/(1-√2/2)]
=1+ (1/2√2)* ln[(√2+1)/(√2-1)]
就是你给的答案
解题过程不难,但比较复杂,细心做就好啊