已知三棱柱P-ABC的底面ABC为边长=a的正三角形,左右侧棱长均为b
1）外接球的情形
连接PO,并延长PO交面ABC于点O'
因为P-ABC为正三棱椎,所以：O'为△ABC的内心
且,PO⊥面ABC
连接CO'并延长,交AB边于点D,则D为AB中点
连接OC
则,OP=OC=R（外接球半径）
因为ABC为正三角形,所以：CO'=a*(√3/2)*(2/3)=(√3/3)a
设OO'=x
那么：PO'=R+x
在Rt△OO'C中,由勾股定理有：OC^2=OO'^2+CO'^2
即：R^2=x^2+[(√3/3)a]^2=x^2+(a^2/3)……………………（1）
而,在Rt△PO'C中,也有：PC^2=PO'^2+CO'^2
即：b^2=(R+x)^2+[(√3/3)a]^2=(R+x)^2+(a^2/3)…………（2）
联立(1)(2)得到：
R=(b^2/2)*{√[3/(3b^2-a^2)]}
2）内切球情形
连接PO并延长,交底面ABC于O'
连接CO'并延长,交边AB于D,则D为AB中点
连接PD,球O切面PAB于点E,切面ABC于O'
连接OO'、OE,则：OO'⊥面ABC,OE⊥面PAB
同1）有：
CO'=(√3/3)a
PO'^2=PC^2-CO'^2=b^2-(a^2/3)
所以：PO=√[b^2-(a^2/3)]
所以,PO=PO'-OO'=√[b^2-(a^2/3)]-r
由于Rt△DOO'≌Rt△DOE,所以：DO'=DE=CO'/2=(√3/6)a
而,PD^2=PB^2-BD^2=b^2-(a/2)^2=b^2-(a^2/4)
所以：PD=√[b^2-(a^2/4)]
设内切球半径为r,那么：由Rt△POE∽Rt△PDO'得到：
PO/PD=OE/DO'
{√[b^2-(a^2/3)]-r}/√[b^2-(a^2/4)]=r/(√3a/6)
解得：
r=[a*√(3b^2-a^2)]/[√3a+b*√(b^2-a^2/4)]
我那天就是看的这个,嗯,本人有点笨,没看太明白,你在思考一下哈~
