常州市2007年初中毕业、升学统一考试
数 学
注意事项：1．全卷共8页,28题,满分120分,考试时间120分钟．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚,并将座位号填写在试卷规定的位置上．
3．用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔将答案直接填写在试卷上．
4．考生在答题过程中,可以使用CZ1206,HY82型函数计算器,若试题计算结果没有要求取近似值,则计算结果取精确值（保留根号和 ）．
一、填空题（本大题每个空格1分,共18分．把答案填在题中横线上）
1． 的相反数是 , 的绝对值是 ,立方等于 的数是 ．
2．点 关于 轴对称的点的坐标是 ；点 关于原点对称的点的坐标是 ．
3．若 ,则 的余角是 °, ．
4．在校园歌手大赛中,七位评委对某位歌手的打分如下：9.8,9.5,9.7,9.6,9.5,9.5,9.6,则这组数据的平均数是 ,极差是 ．
5．已知扇形的半径为2cm,面积是 ,则扇形的弧长是 cm,扇形的圆心角为 °．
6．已知一次函数 的图象经过点 , ,则 , ．
7．如图,已知 , , , , ,
则 °, , ．
8．二次函数 的部分对应值如下表：
… …
… …
二次函数 图象的对称轴为 , 对应的函数值 ．
二、选择题（下列各题都给出代号为A,B,C,D的四个答案,其中有且只有一个是正确的,把正确答案的代号填在题后（ ）内,每小题2分,共18分）
9．在下列实数中,无理数是（ ）
A． B． C． D．
10．在函数 中,自变量 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．下列轴对称图形中,对称轴的条数最少的图形是（ ）
A．圆 B．正六边形 C．正方形 D．等边三角形
12．袋中有3个红球,2个白球,若从袋中任意摸出1个球,则摸出白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
13．如图,图象（折线 ）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系,下列说法中错误的是（ ）
A．第3分时汽车的速度是40千米/时
B．第12分时汽车的速度是0千米/时
C．从第3分到第6分,汽车行驶了120千米
D．从第9分到第12分,汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时
14．下面各个图形是由6个大小相同的正方形组成的,其中能沿正方形的边折叠成一个正方体的是（ ）
15．小明和小莉出生于1998年12月份,他们的出生日不是同一天,但都是星期五,且小明比小莉出生早,两人出生日期之和是22,那么小莉的出生日期是（ ）
A．15号 B．16号 C．17号 D．18号
16．若二次函数 （ 为常数）的图象如下,则 的值为（ ）
A． B． C． D．
17．如图,在 中, , , ,经过点 且与边 相切的动圆与 分别相交于点 ,则线段 长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题（本大题共2小题,共18分．解答应写出演算步骤）
18．（本小题满分10分）化简：
（1） ； （2） ．
19．（本小题满分8分）解方程：
（1） ； （2） ．
四、解答题（本大题共2小题,共12分．解答应写出证明过程）
20．（本小题满分5分）
已知,如图,在 中, 的平分线交 边于点 ．
求证： ．
21．（本小题满分7分）
已知,如图,延长 的各边,使得 , ,顺次连接 ,得到 为等边三角形．
求证：（1） ；
（2） 为等边三角形．
五、解答题（本大题共2小题,共15分．解答应写出文字说明或演算步骤）
22．（本小题满分7分）
图1是某市2007年2月5日至14日每天最低气温的折线统计图．
（1）图2是该市2007年2月5日至14日每天最高气温的频数分布直方图,根据图1提供的信息,补全图2中频数分布直方图；
（2）在这10天中,最低气温的众数是 ,中位数是 ,方差是 ．
23．（本小题满分8分）
口袋中装有2个小球,它们分别标有数字 和 ； 口袋中装有3个小球,它们分别标有数字 , 和 ．每个小球除数字外都相同．甲、乙两人玩游戏,从 两个口袋中随机地各取出1个小球,若两个小球上的数字之和为偶数,则甲赢；若和为奇数,则乙赢．这个游戏对甲、乙双方公平吗?请说明理由．
六、探究与画图（本大题共2小题,共13分）
24．（本小题满分6分）
如图,菱形、矩形与正方形的形状有差异,我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为"接近度"．在研究"接近度"时,应保证相似图形的"接近度"相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为 和 ,将菱形的"接近度"定义为 ,于是, 越小,菱形越接近于正方形．
①若菱形的一个内角为 ,则该菱形的"接近度"等于 ；
②当菱形的"接近度"等于 时,菱形是正方形．
（2）设矩形相邻两条边长分别是 和 （ ）,将矩形的"接近度"定义为 ,于是 越小,矩形越接近于正方形．
你认为这种说法是否合理?若不合理,给出矩形的"接近度"一个合理定义．
25．（本小题满分7分）
已知 经过 , , , 四点,一次函数 的图象是直线 ,直线 与 轴交于点 ．
（1）在右边的平面直角坐标系中画出 ,直线 与 的交点坐标为 ；
（2）若 上存在整点 （横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点）,使得 为等腰三角形,所有满足条件的点 坐标为 ；
（3）将 沿 轴向右平移 个单位时, 与 相切．
七、解答题（本大题共3小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
26．（本小题满分7分）
学校举办"迎奥运"知识竞赛,设一、二、三等奖共12名,奖品发放方案如下表：
一等奖 二等奖 三等奖
1盒福娃和1枚徽章 1盒福娃 1枚徽章
用于购买奖品的总费用不少于1000元但不超过1100元,小明在购买"福娃"和微章前,了解到如下信息：
（1）求一盒"福娃"和一枚徽章各多少元?
（2）若本次活动设一等奖2名,则二等奖和三等奖应各设多少名?
27．（本小题满分9分）
已知,如图,正方形 的边长为6,菱形 的三个顶点 分别在正方形 边 上, ,连接 ．
（1）当 时,求 的面积；
（2）设 ,用含 的代数式表示 的面积；
（3）判断 的面积能否等于 ,并说明理由．
28．（本小题满分10分）
已知 与 是反比例函数 图象上的两个点．
（1）求 的值；
（2）若点 ,则在反比例函数 图象上是否存在点 ,使得以 四点为顶点的四边形为梯形?若存在,求出点 的坐标；若不存在,请说明理由．
常州市2007年初中毕业、升学统一考试
数学试题参考答案及评分标准
一、填空题（每个空格1分,共18分）
1． , , ； 2． , ； 3． , ； 4．9.6,0.3；
5． , ； 6． , ； 7． , , ； 8． , ．
二、选择题（本大题共9小题,每小题2分,共18分）
题号 9 10 11 12 13 14 15 16 17
答案 B C D B C C D D B
三、解答题（本大题共2题,第18题10分,第19题8分,共18分．解答应写出演算步骤）
18．（1）原式 3分
． 5分
（2）原式 2分
3分
4分
． 5分
19．（1）去分母,得 ． 1分
解得, ． 2分
经检验, 是原方程的根．
原方程的根是 ． 4分
（2） , 2分
． 3分
, ． 4分
四、解答题（本大题共2小题,第20题5分,第21题7分,共12分．解答应写出证明过程）
21．证明： 四边形 是平行四边形, , ．
． 1分
平分 , ． 2分
． 3分
． 4分
又 , ． 5分
21．证明：（1） , , ． 1分
是等边三角形, ． 2分
又 , ． 4分
（2）由 ,得 ,
, 是等边三角形,
,
,同理可得 ． 5分
中, ． 6分
是等边三角形． 7分
五、解答题（第22题7分,第23题8分,共15分）
22．（1）画图正确． 2分
（2）7℃,7.5℃,2.49（℃）2（众数1分,中位数2分,方差2分）． 7分
23．画树状图： 或列表：
3 4 5
1 （1,3）和为4 （1,4）和为5 （1,5）和为6
2 （2,3）和为5 （2,4）和为6 （2,5）和为7
4分
数字之和共有6种可能情况,其中和为偶数的情况有3种,和为奇数的情况有3种．
, , 6分
游戏对甲、乙双方是公平的． 8分
六、探究与画图（第24题6分,第25题7分,共13分）
24．（1）①40． 2分
②0． 4分
（2）不合理．例如,对两个相似而不全等的矩形来说,它们接近正方形的程度是相同的,但 却不相等．合理定义方法不唯一,如定义为 ． 越小,矩形越接近于正方形； 越大,矩形与正方形的形状差异越大；当 时,矩形就变成了正方形． 6分
25．（1）画图, , ． 3分
（2） , ． 5分
（3） ． 7分
七、解答题（第26题7分,第27题9分,第28题10分,共26分）
26．（1）设一盒"福娃" 元,一枚徽章 元,根据题意得
2分
解得 3分
答：一盒"福娃"150元,一枚徽章15元．
（2）设二等奖 名,则三等奖 名,
5分
解得 ． 6分
是整数, , ． 7分
答：二等奖4名,三等奖6名．
27．（1） 正方形 中, , ．
又 ,因此 ,即菱形 的边长为 ．
在 和 中, ,
, ,
． ．
, ,
,即菱形 是正方形．
同理可以证明 ．
因此 ,即点 在 边上,同时可得 ,
从而 ． 2分
（2）作 , 为垂足,连结 ,
, ,
, ．
．
在 和 中, , ,
．
,即无论菱形 如何变化,点 到直线 的距离始终为定值2．
因此 ． 6分
（3）若 ,由 ,得 ,此时,在 中, ．
相应地,在 中, ,即点 已经不在边 上．
故不可能有 ． 9分
另法：由于点 在边 上,因此菱形的边长至少为 ,
当菱形的边长为4时,点 在 边上且满足 ,此时,当点 逐渐向右运动至点 时, 的长（即菱形的边长）将逐渐变大,最大值为 ．
此时, ,故 ．
而函数 的值随着 的增大而减小,
因此,当 时, 取得最小值为 ．
又因为 ,所以, 的面积不可能等于1． 9分
28．（1）由 ,得 ,因此 ． 2分
（2）如图1,作 轴, 为垂足,则 , , ,因此 ．
由于点 与点 的横坐标相同,因此 轴,从而 ．
当 为底时,由于过点 且平行于 的直线与双曲线只有一个公共点 ,
故不符题意． 3分
当 为底时,过点 作 的平行线,交双曲线于点 ,
过点 分别作 轴, 轴的平行线,交于点 ．
由于 ,设 ,则 , ,
由点 ,得点 ．
因此 ,
解之得 （ 舍去）,因此点 ．
此时 ,与 的长度不等,故四边形 是梯形． 5分
如图2,当 为底时,过点 作 的平行线,与双曲线在第一象限内的交点为 ．
由于 ,因此 ,从而 ．作 轴, 为垂足,
则 ,设 ,则 ,
由点 ,得点 ,
因此 ．
解之得 （ 舍去）,因此点 ．
此时 ,与 的长度不相等,故四边形 是梯形． 7分
如图3,当过点 作 的平行线,与双曲线在第三象限内的交点为 时,
同理可得,点 ,四边形 是梯形． 9分
综上所述,函数 图象上存在点 ,使得以 四点为顶点的四边形为梯形,点 的坐标为： 或 或 ． 10分
