已知定义域为R的函数f（x）=−2x+b2x+1+2是奇函数．

（1）∵定义域为R的函数f（x）=
−2x+b
2x+1+2是奇函数．
∴f（0）=
−1+b
4=0，解得b=1．
（2）由（1）可得：f（x）=
−2x+1
2x+1+2=
1
2x+1−
1
2．
∀x₁＜x₂，则2x2＞2x1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=
1
2x1+1−
1
2−(
1
2x2+1−
1
2)=
2x2−2x1
(2x1+1)(2x2+1)＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴函数f（x）在R上是减函数．
（3）∵函数f（x）是R上的奇函数，对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，
∴f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
∵函数f（x）在R上是减函数，
∴t²-2t＞k-2t²，
∴k＜3t²-2t=3(t−
1
3)2−
1
3，任意的t∈R恒成立．
∴k＜−
1
3．
因此k的取值范围是k＜−
1
3．