实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求：

（1）设f（x）=x²+ax+2b，
∵方程x²+ax+2b=0的一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，
∴可得

f(0)＞0
f(1)＜0
f(2)＞0，即

b＞0
a+2b+1＜0
a+b+2＞0．
作出满足上述不等式组对应的点（a，b）所在的平面区域，
得到△ABC及其内部，即如图所示的阴影部分（不含边界）．
其中A（-3，1），B（-2，0），C（-1，0），
∴S△ABC＝
1
2|BC|×yA＝
1
2×1×1＝
1
2，即为点（a，b）对应的区域的面积．

（2）设点E（a，b）为区域内的任意一点，
则k=
b−2
a−1，表示点E（a，b）与点D（1，2）连线的斜率
∵kAD＝
2−1
1+3＝
1
4，kCD＝
2−0
1+1＝1，结合图形可知：kAD＜
b−2
a−1＜kCD，
∴
b−2
a−1的取值范围是(
1
4，1)；
（3）设点E（a，b）为区域内的任意一点，
可得|DE|²=（a-1）²+（b-2）²，表示区域内的点D、E之间距离的平方
运动点E，可得当E在C点时满足|DE|²=（-1-1）²+（0-2）²=8，
在当E在A点满足|DE|²=（-3-1）²+（1-2）²=17．
由此可得（a-1）²+（b-2）²取值范围为：（8，17）．