20.已知直线L:y=kx-1,与抛物线C:y*2=-2px(p>0)交于A,B两点,O是坐标原点,向量OA+向

设交点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)
联立y=kx-1和y²=-2px,得：
k²x²+1-2kx=-2px,即k²x²+2(p-k)x+1=0
判别式△=4(p-k)²-4k²=4p²-8pk>0,即p>2k
由根与系数关系可知：x1+x2=2(k-p)/k²
则y1+y2=(kx1-1)+(kx2-1)=k(x1+x2)-2=2(k-p)/k-2=-2p/k
向量OA+向量OB=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)=(-3/2,-17/4)
即2(k-p)/k²=-3/2,且-2p/k=-17/4
解得：k=3/2,p=51/16
则直线L方程为：y=1.5x-1；抛物线C方程为：y²=(-51/8)x
设P到直线AB的距离为d
△ABP面积=1/2×AB×d
∵AB为定值,∴当d达到最大值时,面积达到最大值
∵P是从A运动到B,则最大距离的P点满足该点所在直线切线斜率等于直线L斜率
(因为不知道你们学没学过y²=-2px的切线为yy0=-p(x+x0),所以下面我用判别式法来解)
设该切线为y=1.5x+b ,联立抛物线得：
2.25x²+b²+3bx=(-51/8)x,即2.25x²+(3b+51/8)x+b²=0
∵该直线是切线,所以只有一个交点
∴判别式△=9b²+(51/8)²+2*3b*51/8-9b²=0,即b=-17/16
则切线为y=1.5x-17/16
则切点P到直线L的距离=|-17/16-(-1)|/√(1.5²+1)=1/8√13
∵x1+x2=-3/2,x1x2=1/k²=4/9
y1+y2=-17/4,y1y2=√[y1²y2²]=√[4p²x1x2]=2p√[x1x2]=17/4
AB距离=√[(x1-x2)²-(y1-y2)²]=√[(x1+x2)²-4x1x2+(y1+y2)²-4y1y2]=√221/12
则△ABP面积=1/2×√221/12×1/8√13=√17/192
感觉数字挺别扭,你再算一下吧,方法是对的