级数证明:若级数∑an收敛,则级数∑(an)²,∑(an)³,推广到∑(an)^n是否都收敛.

可能是你的表达有误,按你的叙述,结论不对.
举个例子,an=1/(n^2),显然 ∑an 是收敛的.
然而,(an)^n ->1,所以 ∑(an)^n 是发散的.
再问： 请问一下 (an)^n ->1 an既然是一个属于(0,1)间的数,那它的n次方也不会趋于1吧.
再答： 不好意思，我看错题了，以下面的叙述为准。。。 设 an=((-1)^(n-1))/(ln n)， 则 ∑an 收敛 (莱布尼茨判别法)。 但是当m (m与n无关)是偶数时，只要与发散级数∑(1/n)做比较就能知道，级数 ∑(an)^m是发散的。 但是级数∑(an)^n却是收敛的。 原因如下： ∑an 收敛，故 an->0，从而存在小于1的正数c，使得当n大于某个正整数N时，|an|1/n (与n比较，对数 (ln n)^m的增长速度更慢)，而级数∑(1/n)是发散的，所以此时级数∑(an)^m也是发散的。。。
再问： 与n比较，对数 (ln n)^m的增长速度更慢)， 这证明不充分啊. 比如 x²比x³增长慢,但是x²)²却比x³增长快. 或许你直接表示的是(ln n)^m (m取任意偶数,的增长速度比n慢,但你能解释一下么.我对这种形式题没经验.抱歉,屡次麻烦你.
再答： 对任何常数 a>0，b>0 (a，b可以不是整数)，都存在正整数N，使得当n>N时，有 (ln n)^a正无穷时，有 ((ln x)^a)/((ln x)^b)->0。 用洛必达法则很容易证明的。