级数收敛性的一道证明题

收敛半径就是R1.
对任意x满足|x| < R1,∑an·x^n与∑bn·x^n都是绝对收敛的,于是∑(an+bn)x^n也绝对收敛.
其收敛域包含(-R1,R1),故收敛半径 ≥ R1.
对任意x满足R2 > |x| > R1,由∑bn·x^n的收敛半径为R2,有lim{n→∞} bn·x^n = 0.
而由∑an·x^n的收敛半径为R1,有limsup{n→∞} |an|^(1/n) = 1/R1.
于是limsup{n→∞} |an·x^n|^(1/n) > |x|/R1 > 1,n→∞时an·x^n不能收敛到0.
因此n→∞时(an+bn)·x^n不能收敛到0,∑(an+bn)x^n不可能收敛.
故∑(an+bn)x^n的收敛半径 ≤ R1.
综合得∑(an+bn)x^n的收敛半径 = R1.