定义在R上的函数f(x)的导函数为f‘(x),已知f(x+1)是偶函数,（x—1）f'(x)

已知f(x+1)是偶函数
得f（x）关于直线x=1对称
（x-1）f'（x）＜0,得当x＞1时f'（x）＜0,f（x）单调减
当x＜1时f'（x）＞x,f（x）单调增,于是有若|a-1|＞|b-1|则f（a）＜f（b）【常用,数形结合的结论】【语言表达为：距离对称轴越远,函数值越小】
x1+x2＞2,即x2-1＞1-x1,若x1＞1,则|x2-1|=x2-1,|x1-1|=x1-1,
因为x2＞x1,所以x2-1＞x1-1,得|x2-1|＞|x1-1|于是f（x1）＞f（x2）
若x1＜1,则|x2-1|=x2-1,|x1-1|=1-x1
|x2-1|-|x1-1|=x2+x1-2＞0,于是|x2-1|＞|x1-1|于是f（x1）＞f（x2）
综上得f（x1）＞f（x2）
再问： 为什么已知f(x+1)是偶函数 得f（x）关于直线x=1对称？ 为什么是当x＜1时f'（x）＞x而不是>0？
再答： 对称性的证明，90年代常见，现在仅用其结论。这点是高中教学的空白很多老师不讲，或者讲了效果也不好。靠学生自学的，自己在复习资料上找。 f（x+1）为偶函数，则f（-x+1）=f（x+1），即f（x）=f（2-x） 设x2=2-x1，y1=f（x1），y2=f（x2），则y2=y1 于是点A（x1，y1），B（2-x1，y1）都在函数y=f（x）上 AB的中点为（1，y1），得AB中点始终在直线x=1上， 得A,B关于直线x=1对称，由于A是任意的，则函数y=f（x）图像关于x=1对称