有一个四位数，它的各位上数字相加的和能被17整除，将这个四位数加上1，所得和的各位上的数字的和也能被17整除，这个四位数

由于根据题意，四位数加上1后，各位数的和有这样的规律：
（1）如不发生进位，则各位数和=原各位数和+1=18或35，不能被17整除，舍弃．
（2）如发生1次进位，则各位数和=原各位数和+1-（10-1）=9或26，不能被17整除，舍弃．
（3）如发生2次进位，则各位数和=原各位数和+1-（10-1）×2=0或17，能被17整除，符合．
因此原四位数的各位数字和为17或34．
又因为当原四位数的各位数字和为17时，
加1最可能发生进位的数字（如1079）也不可能产生2次进位，
所以原四位数各位数字和只能为34，且加1时发生且仅发生2次进位．
因此，这个四数位可是：8899，9799．最小为8899．
故答案为：8899．