2006全国初中数学联赛D卷的一题

站个位子先,等会躺床上去做
设AC与DM、BN分别交于点E、F,连接DF
我们考虑用梅涅劳斯定理来证M、P、N三点共线,即要证明：(BN/FN) •(FP/PA) •(AM/BM)=1
注意到A、B、C、D点四共圆,以及MD‖BN
则有FP/PA=S(△BFD)/S(△ABD)= (BF•FD•sin∠BFD)/(AB•AD•sin∠BAD)
由于MD‖BN,即有∠BFD+∠EDF=180°,从而FP/PA=(BF/AB) •(FD•sin∠BFD)/(AD•sin∠BAD)=(sin∠BAC/ sin∠BAD)•EF/AD
又AM/BM=AE/EF
因此：(FP/PA) •(AM/BM)= (sin∠BAC/ sin∠BAD)•(AE/AD)= sin∠BAC•cos∠CAD/ sin∠BAD
现在即要证FN/BN= sin∠BAC•cos∠CAD/ sin∠BAD
此易证也：FN/BN= S(△CFN)/S(△CBN)=(CF•sin∠ACD)/( BC•sin∠BCN)
而CF/BC=cos∠BCF= sin∠BAC,sin∠ACD=cos∠CAD,sin∠BCN=sin∠BAD,故FN/BN=1/[(FP/PA) •(AM/BM)]
证毕.
应该还有非常简洁的方法,好像要用到直角三角形的内心,记不起来了.