已知a^2+b^2+c^2=3,求证:1/(a^2+a+1)+1/(b^2+b+1)+1/(c^2+c+1)≥1

问题描述:

已知a^2+b^2+c^2=3,求证:1/(a^2+a+1)+1/(b^2+b+1)+1/(c^2+c+1)≥1
abc都是正数
1个回答 分类:数学 2014-10-15

问题解答:

我来补答
这个要用到调和均值不等式
(a1+a2+...+an)/n≥n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
以及平方平均数大于等于算术平均数
√((a1²+a2²+...+an²)/n)≥(a1+a2+...+an)/n
这里n=3,有
(a1+a2+a3)/3≥3/(1/a1+1/a2+1/a3) ……(1)
√((a1²+a2²+a3²)/3)≥(a1+a2+a3)/3 ……(2)
用a²+a+1,b²+b+1,c²+c+1分别代替式(1)中的a1,a2,a3得到
(a²+b²+c²+a+b+c+3)/3≥3/(1/(a²+a+1)+1/(b²+b+1)+1/(c²+c+1))……(3)
用a,b,c分别代替式(1)中的a1,a2,a3得到
√((a²+b²+c²)/3)/n≥(a+b+c)/3 ……(4)
化简式(3)得到
1/(a²+a+1)+1/(b²+b+1)+1/(c²+c+1)≥9/(a²+b²+c²+a+b+c+3)……(5)
式(4)代入a²+b²+c²=3得到
a+b+c≤3……(6)
式(5)右边的分母代入a²+b²+c²=3,结合式(6)a+b+c≤3,得到
a²+b²+c²+a+b+c+3=6+a+b+c≤9
代回式(5)得到
1/(a²+a+1)+1/(b²+b+1)+1/(c²+c+1)≥9/9=1
综上得证.
我写得够详细了吧,如果还有什么疑惑随时欢迎HI我
 
 
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