设t1,t2,t3为3阶矩阵A的三个互不相同的特征值,相应的特征向量依次为a1,a2,a3,令b=a1+a2+a3,证明

反证法.
如果它们线性相关,即存在不全为零的实数 p,q,r 使得 pb+qAb+rA^2b=0,将
b=a1+a2+a3 代入并且由a1,a2,a3 是对应于 t1,t2,t3 的特征值可得：
p(a1+a2+a3)+qA(a1+a2+a3)+rA^2(a1+a2+a3)
=p(a1+a2+a3)+q(t1a1+t2a2+t3a3)+r(t1^2a1+t2^2a2+t3^2a3)
=(p+qt1+rt1^2)a1+(p+qt2+rt2^2)a2+(p+qt3+rt3^2)a3=0
因为矩阵不同的特征值所对应的特征向量线性无关,即a1,a2,a3 线性无关,所以上式等于0当且仅当三个系数p+qt1+rt1^2,p+qt2+rt2^2,p+qt3+rt3^2
均为0.将其写成矩阵形式就是
1 t1 t1^2 p
1 t2 t2^2 * q =0
1 t3 t3^2 r
上面等式左边是一个3×3 的Vandermonde矩阵,其行列式在t1,t2,t3互不相等时不为0,所以该矩阵可逆,因此上面关于p,q,r的方程组只有零解,即p=q=r=0,
这与开始的假设p,q,r不全为0矛盾,所以b,Ab,A^2b线性无关.