问题描述：
如图1,△ABC中,DE‖BC,EF‖AB,若BF=a,FC=b,DE与BC间的距离为h,请证明S²=4S1S2.
如图2,平行四边形DEFG的四个顶点在ABC的三边上,若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3,试利用上题中的结论求△ABC的面积
如上图
如图2,平行四边形DEFG的四个顶点在ABC的三边上,若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3,试利用上题中的结论求△ABC的面积
如上图
问题解答：
我来补答
虫VS虫虫：
如图1
证明：
∵DE‖BC,EF‖AB,
∴四边形DBFE为平行四边形,∠AED=∠C,∠A=∠CEF,
∴△ADE∽△EFC
∴S2/S1=(DE/FC)²=a²/b²
∵S1=1/2bh
∴S2=(a²/b²)×S1=(a²h)/(2b)
∴4S1S2=4×(1/2bh)×[(a²h)/(2b)]=(ah)²
而S=ah,
∴S²=4S1S2
如图2
过点G作GH‖AB交BC于H,则四边形DBHG为平行四边形
∴∠GHC=∠B,BD=HG,DG=BH,
∵四边形DEFG为平行四边形,
∴DG=EF,
∴BH=EF
∴BE=HF,
∴△DBE≌△GHF,
∴△GHC的面积为5+3=8,
由(2)得,平行四边形BDGH的面积为2√(2×8)=8
∴△ABC的面积为2+8+8=18
如图1
证明：
∵DE‖BC,EF‖AB,
∴四边形DBFE为平行四边形,∠AED=∠C,∠A=∠CEF,
∴△ADE∽△EFC
∴S2/S1=(DE/FC)²=a²/b²
∵S1=1/2bh
∴S2=(a²/b²)×S1=(a²h)/(2b)
∴4S1S2=4×(1/2bh)×[(a²h)/(2b)]=(ah)²
而S=ah,
∴S²=4S1S2
如图2
过点G作GH‖AB交BC于H,则四边形DBHG为平行四边形
∴∠GHC=∠B,BD=HG,DG=BH,
∵四边形DEFG为平行四边形,
∴DG=EF,
∴BH=EF
∴BE=HF,
∴△DBE≌△GHF,
∴△GHC的面积为5+3=8,
由(2)得,平行四边形BDGH的面积为2√(2×8)=8
∴△ABC的面积为2+8+8=18
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