若α是实系数一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0）的一个虚根,且α^3∈R,证明b^2=ac

若α是实系数一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0）的一个虚根,则有α的共轭复数β也是它的一个根.设α=m+in β=m-in（n≠0）
因此,由韦达定理可知 α+β=-b/a αβ=c/a
即 2m=-b/a,m=-b/（2a）
m＾2+n＾2=c/a ⑴
又因为α^3∈R,而α^3=（m+in ）^3=m^3+3im^2n-3mn^2-in^3∈R
所以 3m^2n-n^3 =0 即 3m^2-n^2=0 ⑵
由⑴,⑵得m^2=c/a
所以[-b/（2a）]^2=c/a 故 b^2=ac