设A是m行n列的矩阵,且线性方程组Ax = b有解.证明：A的转置的列空间R(A^T)必有Ax = b的解,且有且仅有一

给定线性空间Rn,则A的行向量张成它的子空间,记为U,记U的维数为s.赋予标准内积,使Rn化为欧氏空间,题目等价于证明存在唯一的u∈U,使u与A的每一个行向量的内积都等于对应的b的元素.
首先,由于标准内积限制在U上仍然对称非退化,故Rn可表示为U和U的正交补(记为U')的直和.
另一方面,由线性方程理论知,Ax=b的解可表为此方程的特解和它对应齐次方程通解的和.而Ax=b对应的齐次方程Ax=0的解空间维数为n-s,正好是U'的维数.而且Ax=0的解空间中,每个向量均与U正交,故Ax=0的解空间正是U'.
再者,由Ax=b有解知,存在y∈Rn,使Ay=b.若y∈U,那存在性已获证.若y不属于U,则存在u∈U,u'∈U',使y=u+u'.但Ax=0的解空间是U',故存在Ax=0的解向量张成u'.故u=y-u'仍是原方程的解.存在性得证.
下证唯一性,这是显然的.若存在u''∈U也满足题目条件.由u,u''∈U知u-u''∈U.由u-u''是Ax=0的解知u-u''∈U',但U∩U'=Φ,矛盾.