[线代]线性代数的几个问题

问题描述：

[线代]线性代数的几个问题
1,a1T=(1,1,1) 非零向量a2,a3使a1,a2,a3两两正交,即x1+x2+x3=0
得出基础解系 ξ1T=（1,0,-1） ξ2T=（0,1,-1）这个是怎么得出的?请详细点.
2,求基础解系时,得出x1=-x3,x2=0 有基础解系（-1,0,1）T,为什么x1=-1而x3一定为+1?反过来不是一样吗?
3,矩阵A求特征向量时代入“入”的值,得出x1=x2,特征向量“可取”
p1=(1,1)T ,一个矩阵的特征向量不是唯一的?随便取?
4,I P^-1 I I A-入E I I P I=I A-入E I 为什么啊?那不是P^-1 A P=A?
5,f(入)是A的特征多项式,则f(A)=O,证明中P^-1 A P=∧=diag（入1,...入n）有f(A)=Pf(∧)P^-1=POP^-1=O,这个POP^-1中的O是怎么来的?diag（入1,...入n）并不等于O啊?
第5题：没有什么表明有入i使f(入i)=0啊？？

1个回答分类：数学 2014-10-15

问题解答：

我来补答

第一题
是找这样两个向量,你要问怎么找的吗?
就把要找的两个向量设出来,然后建立方程组,解方程就好了啊
具体点就是找向量X,使得a1*X=0（a1是行向量,X是列向量）
（这里你要知道,两个向量正交,就是内积为零,也就是第一个向量写成行向量,第二个向量写成列向量,然后相乘=0）
所以解这个关于X的方程组就可以了,这个方程组秩为1,所以有两个无关解.解出来就行了.
第二题,可以,只要x3随便取个非零数就行了
第三题,如果一个向量是特征向量,那么和这个向量线性相关的向量都是同一个特征值的特征向量啊.
因为若：AX=入X,那么 A(aX)=aAX=a入X=入(aX)
所以aX也是特征向量
第四题,因为逆矩阵的行列式,就是原矩阵行列式的倒数啊.
证明：det(P)*det(P-1)=det(P*P-1)=det(E)=1
（利用了矩阵的积的行列式=矩阵的行列式的积）
第五题,f(入)是A的特征多项式,所以每个特征值入i都是f的根.
所以f(入i）=0
而根据对角矩阵的优良性质,f(∧)=diag（f(入1),...(入n)）=diag（0..,0)=0
就是这么来的
补充最后一个问题的回答：
f(入i)=0是因为,入i是特征根,特征根就是特征多项式的根啊!
f是特征多项式,所以入i就是f的根.那当然代入之后等于0了.所以f(入i)=0喽...

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