给出 m×n 矩阵 A 和 B,可定义它们的和 A + B 为一 m×n 矩阵,等 i,j 项为 (A + B)[i,j] = A[i,j] + B[i,j].举例：
另类加法可见于矩阵加法.
若给出一矩阵 A 及一数字 c,可定义标量积 cA,其中 (cA)[i,j] = cA[i,j].例如
这两种运算令 M(m,n,R) 成为一实数线性空间,维数是mn.
若一矩阵的列数与另一矩阵的行数相等,则可定义这两个矩阵的乘积.如 A 是 m×n 矩阵和 B 是 n×p矩阵,它们是乘积 AB 是一个 m×p 矩阵,其中
(AB)[i,j] = A[i,1] * B[1,j] + A[i,2] * B[2,j] + ...+ A[i,n] * B[n,j] 对所有 i 及 j.
例如
此乘法有如下性质：
(AB)C = A(BC) 对所有 k×m 矩阵 A,m×n 矩阵 B 及 n×p 矩阵 C ("结合律").
(A + B)C = AC + BC 对所有 m×n 矩阵 A 及 B 和 n×k 矩阵 C ("分配律").
C(A + B) = CA + CB 对所有 m×n 矩阵 A 及 B 和 k×m 矩阵 C ("分配律").
要注意的是：可置换性不一定成立,即有矩阵 A 及 B 使得 AB ≠ BA.
对其他特殊乘法,见矩阵乘法.
