现有一只青蛙,初始时在n号荷叶上.当它某一时刻在k号荷叶上时,下一时刻将等概率地随机跳到1,2,……,k号荷叶之一上,直

1/5的概率跳到1,1=f(1)次
1/5的概率跳到2号,花费1+f(2)次
1/5的概率跳到3号,花费1+f(3)次
.
1/5的概率跳回5号,将花费1+f(5)次
f(5)=(f(1)+1+f(2)+1+f(3)+1+f(4)+1+f(5))/5
5f(5)=4+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)
4f(5)=4+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)
f(5)=1+(f(1)+..f(4))/4
f(n)=(f(1)+1+f(2)+...1+f(n))/n
nf(n)=f(1)+...f(n)+(n-1)
(n-1)f(n)=f(1)+..f(n-1)+(n-1)
f(n)=1+(f(1)+..f(n-1))/(n-1)
若仍看不懂,还有其他方法,就是按概率乘以次数累积算期望,可能比较繁琐,得到的结论一样
f2=
1/2+2(1/2)^2+3(1/2)^3+...=2
1/2的概率一次跳完,(1/2)^2概率两次跳完.
f3=
(1/3+(1/3)*3)+(1/3)((1/3)*2+(1/3)*4)+...
1/3的概率一次跳完,1/3的概率一次跳到2,接f(2)；若第一次跳到三号,(1/3)^2概率两次跳完,(1/3)^2概率两次跳到2,接f(2)
=4/3+(1/3)(6/3)+(1/3)^2(6/3)+...
=2*(2/3)+3*(1/3)(2/3)+4*(1/3)^2(2/3)...
=3/2+(2/3)(1/(2/3))
=5/2
fn
=(1/n+(f2+1)/n+(f3+1)/n+...)+(1/n)(2/n+(f2+2)/n+(f3+2)/n.)+(1/n)^2(2/n+(f2+2)/n+(f3+2)/n.)+...
(1/n的概率一次跳完,1/n的概率一次跳到2号接f2,1/n的概率一次跳到3号接f(3).
若第一次跳到n号,1/n的概率两次跳完,1/n的概率两次跳到2号接f2,.)
=(n-1+(f2+f3+...f(n-1))/n+(1/n)(2(n-1)+(f2+f3+...f(n-1))/n+(1/n)^2*(3(n-1)+(f2+f3+...f(n-1))/n+..
=(f2+f3+...f(n-1))*(1/n+1/n^2+...)+(n-1)(1/n+2/n^2+3/n^3...)
=(f2+f3+...f(n-1))*(1/n)(1/(1-1/n))+(n-1)(1/n+2/n^2+3/n^3...)
S=(1/n+2/n^2+3/n^3+.)
S/n=(1/n^2+2/n^3+...)
(1-1/n)S=1/n+1/n^2+.
(1-1/n)S=(1/n)/(1-1/n)
S=1/[(n-1)(1-1/n)]
fn=(f2+f3+...f(n-1))*(1/n)(1/(1-1/n))+(n-1)S
=(f2+f3+...f(n-1))/(n-1)+1/(1-1/n)
={n+f2+f3+...f(n-1)}/(n-1)
={1+f2+...f(n-1)}/(n-1)+(n-1)/(n-1)
=1+{f1+f2+..f(n-1)}/(n-1)