第十五届华罗庚金杯少年队数学邀请赛决赛试题A（小学组）
一、填空题（每小题10分,共80分）
1.在10个盒子中放乒乓球,每个盒子中的球的个数不能少于11,不能是13,也不能是5的倍数,且彼此不同,那么至少需要 173 个乒乓球.
11+12+14+16+17+18+19+21+22+23=173
2.有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品以及五种价格分别为1元、3元、5元、7元、9元的包装盒.一个礼品配一个包装盒,共有 19 种不同价格.
5x5-6=19（9、12、15、11、14、17重复）
3.汽车A从甲站出发开往乙站,同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站,途中A与B相遇20分钟后再与C相遇.已知A、B、C的速度分别是每小时90km,80km,60km,那么甲乙两站的路程是 425 km.
AC相遇时,BC间距离为（90+80）x13 =1703
此时B共行进了1703 ÷（80-60）=176 小时,则AB相遇时A、B行进了176 —13 =52 小时,所以总路程为（90+80）x52 =425km
4.将12 、13 、14 、15 、16 、17 和这6个分数的平均值从小到大排列,则这个平均值排在第5位.
平均值为223840 ,比较可得.
5.将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作,经连续若干次这样的操作后可以变为6的数称为“好数”,那么不超过2012的“好数”的个数为 223 ,这些“好数”的最大公约数是 3 .
“好数”实际上是对于模9同余6的数,因此在1~2012中共有（2012-5）÷9=223个
所有好数都是3的倍数,参照前2个好数6、15可得,最大公约数只能为3.
6.右图所示的立体图形由9个棱长为1的立方块搭成,这个立体图形的表面积为 32 .
从3个方向数出各自的面积为5+6+5=16
则6个面一共为16x2=32
7.数字卡片“3”、“4”、“5”各10张,任意选出8张使它们的数字和事33,则最多有 3 张是卡片“3”.
设8张全用3则3x8=24,不足33. 33-24=9
因此要用“4”或“5”来替换“3”显然尽可能多用“5”更划算
所以每用一张5可使结果增加2
所以9÷2=4?1
所以用4张5和1张4替换掉5个3,还剩下3个3是最多的情况.
8.若将算式11x2 —13x4 +15x6 —17x8 +?—12007x2008 +12009x2010 的值化为小数,则小数点后第1个数字是 4 .
原式的小数部分第一位是4.
二、解答下列各题（每题10分,共40分,要求写出简要过程）
9.右图中有5个由4个1x1的小正方格组成的不同形状的硬纸板.问能用这5个硬纸板拼成右图中4x5的长方形吗?如果能请画出一种拼法；如果不能请简述理由.
不可以.
对长方形黑白间隔染色,共有10黑10白.那5个小正格硬纸板,“L”型会占2黑2白,“Z”型会占2黑2白,“田”型会占2黑2白,“1”型会占2黑2白,“土”型会占1黑3白或3黑1白,这样总共会占掉9黑11白或11黑9白,与10黑10白矛盾.所以不行.
10.长度为L的一条木棍,分别用红、蓝、黑线将它等分为8,12和18段,在各划分线处将木棍锯开,问一共可以得到多少段?其中最短的一段长是多少?
按红、蓝、黑线划分后的长度分别为原厂的18 、112 、118 则格局容斥原理可得：
[18 ,112 ]=14 ；[18 ,118 ]=12 ；[18 ,112 ,118 ]=12
则可知共可分38-6-4-2=26段,
最短一段：
因为（18 ,112 ,118 ）=172 它们的最大公约数为172
所以最短的一段一定大于172 ,不难组合出18 第一段与118 的第二段之间可截出
18 —218 =18 —19 =172 x2
所以最短为L72
另：可设L长度为72,把分数转化为整数更简便
11.足球队A,B,C,D进行单循环赛（每两队赛一场）,每场比赛胜队得3分,负队得0分,平局两队各得1分,若A,B,C,D队总分分别是1,4,7,8,请问：E队至多得几分?至少得几分?
至多7分,至少得5分.
总共塞了10场,10场中有些是平局,有些是胜负局,而平局时双方只能得到2分,胜负双方能得3分.所以要想使E得分最多或最少,也就是要让总分最多或最少.
总分最多时,平局最少.A最少平1局,B最少平1局,C最少平1局,D最少平2局,由于一场平局被两支队伍算了两次,所以平局数的和必须是偶数,因此E最少平1局,所以E队最多得7分.
总分最少时,平局最多.A最多平1局,B最多平4局,C最多平1局,D最多平2局,同理平局数的和必须是偶数,因此E最多平4局,但是这样的情况是不可能达到的,因为B和E与其他四队都平的话,A、C不可能只平1局.因此E最多平2局,所以E队最多得5分.
12.华罗庚爷爷出生于1910年11月12日.将这些数字排成一个整数,并且分解成19101112=1163x16424.请问这两个数1163和16424中有质数吗?并说明理由.
有.
显然16424不是质数.对于1163,依次用2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31去除,发现都不能整除,所以1163是质数.
三、解答下列各题（每小题15分,共30分,要求写出详细过程）
13.右图中,六边形ABCDEF的面积是2010平方厘米,已知△ABC △BCD △CDE △DEF △EFA △FAB的面积都等于335平方厘米,6个阴影三角形面积之和为670平方厘米.求六边形A1B1C1D1E1F1的面积.
670
14.已知两位自然数虎威能被他的数字之积整除,求出虎威代表的两位数.
36、24、15、12
由题目知,两位数虎威要满足：威虎威,即?10?威虎威,也就是要 10威虎；同理,由于虎虎威,即?10?虎虎威,也就是要 虎威.有了这两个限制条件,依次进行试验：
当威=9,7,3,1时,相应的虎=9,7,3,1；但不同的汉字取相同的数字,矛盾.
当威=8时,虎=8或4,都不满足.
当威=6时,虎=6或3,试验知36是满足的.
当威=4时,虎=4或2,试验知24是满足的.
当威=2时,虎=2或1,试验知12是满足的.
当威=5时,虎=5或1,试验知15是满足的.
综上所述,有三个满足题目的两位数,即36、12、15
