f(x)在[0,+∞)有连续导数,f''(x)>=k>0,f(0)

你的题错了吧?应该是f '(x)≥k>0,不是二阶导数.
如：f(x)=x²-2x-3,有f ''(x)=2>0,但有两个零点.
将题目改为f '(x)≥k>0
假设f(x)在(0,+∞)上零点超过1个,设f(x1)=f(x2)=0,且0
再问： 在(0,+∞)仅有一个零点
再答： 刚才证明了零点的唯一性，下面证明零点的存在性 设f(0)=a0 则在[0，x0]内使用拉格朗日中值定理得： f(x0)-f(0)=f '(ξ)x0≥kx0=k(-a+1)/k=-a+1=-f(0)+1 因此：f(x0)≥1>0 则：f(0)与f(x0)异号，因此f(x)在[0，x0]内必有零点。
再问： 题目是错的吗？你举的反例：f(x)=x²-2x-3，有f ''(x)=2>0，但有两个零点，但为一正一负，在(0,+∞)仅有一个零点 有其他反例吗？
再答： 这个题目我觉得还是应该是把两阶导改为一阶导，这样刚好用上你的提示。 如果是二阶导的话，结论应该是对的。似乎很难用提示来证明，一下子想不出太好的证明方法。