关于原函数存在性的问题?

　　“可积”和“原函数”本是两个不同的问题.有以下几个区别：
　　（1）这里的“可积”指的是“Riemann可积”,也就是可求定积分.而 f 存在“原函数”,是指的"存在 F,使处处有 F'(x) = f(x).“
　　（2）定积分必须在闭区间 [a,b] 上讨论,而原函数可在任意区间上讨论.
　　（3）关于Riemann可积函数,常见的有如下三个可积函数类：连续函数；有界且只有有限个第一类间断点（即跳跃间断点）的函数；单调函数.也就是说不止连续函数是可积的.而 f 的积分上限函数
F(x) = ∫[a,x]f(t)dt,
在 f 连续的点是可导的,因此当 f 在闭区间[a,b]上连续时,F(x)是 f(x) 的原函数.
　　关于你的问题：
　　2.不可积的函数一定没有原函数,没有原函数的不一定不可积.正确.
　　3.连续函数的原函数是可导的,因而一定是连续的.
再问： 还是针对问题一，原函数可以是分段函数吗？比如f(x)在定义域内有有限个跳跃间断点，我可以把它按照间断点拆分区间，求每个区间的原函数，但是最后我只能说f(x)在原定义域的一部分里有原函数，而定义中说的是指在原函数的全体定义域内有原函数，所以我不能说f(x)有原函数？是不是这个意思？
再答： 　　是这个意思。 　　原函数可以是分段函数，但要求处处可导。 　　求有限个跳跃间断点的分段函数 f 的定积分实际上就是先把 f 分成若干段，求其在每一段的原函数，再用Newton-Leibniz定理。所以Newton-Leibniz定理还可以进一步推广到有限个跳跃间断点的分段函数的情形。广义的原函数可以定义为至多有有限个不可导点的连续函数。