已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域D内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+1成立．

（1）D=R，若f（x）=x²属于集合M，
则存在实数x₀，使得（x₀+1）²=x₀²+1，解得x₀=0，因为此方程有实数解，
所以函数f（x）=x²属于集合M．（5分）
（2）D=（-∞，0）∪（0，+∞），
若f（x）=
1
x∈M，则存在非零实数x₀，使得

1
x0+1＝
1
x0+1，即x₀²+x₀+1=0，
因为此方程无实数解，所以函数f（x）=
1
x∉M．（5分）
（3）当b≠0时，D=（-∞，-a）∪（-a，+∞），
由f(x)＝
b
x+a，存在实数x₀，使得
b
x0+a+1＝
b
x 0+a+1，
即x₀²+（2a+1）x₀+a²+a+b=0（x₀≠-a，-a-1）对于任意实数a均有解，
所以△≥0恒成立，解得b≤
1
4，有b∈(−∞，0)∪(0，
1
4]，（15分）
当b=0时，f（x）=0（x≠-a）显然不属于集合M．
所以，实数b的取值范围是(−∞，0)∪(0，
1
4]．（18分）