问题描述：
如图，△ABC中，内切圆I与AB，BC，CA分别切于F，D，E，连接BI，CI，再连接FD，ED，
（1）若∠A=40°，求∠BIC与∠FDE的度数．
（2）若∠BIC=α；∠FDE=β，试猜想α，β的关系，并证明你的论．
（1）若∠A=40°，求∠BIC与∠FDE的度数．
（2）若∠BIC=α；∠FDE=β，试猜想α，β的关系，并证明你的论．
问题解答：
我来补答
（1）∵圆I是△ABC的内切圆，
∴∠IBC=
1
2∠ABC，∠ICB=
1
2∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=
1
2（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，
∴∠IBC+∠ICB=70°，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=110°，
连接IF、IE，
∵圆I是△ABC的内切圆，
∴∠IFA=∠IEA=90°，
∵∠A=40°，
∴∠FIE=360°-∠IFA-∠IEA-∠A=140°，
∴∠EDF=
1
2∠EIF=70°，
答：∠BIC=110°，∠FDE=70°．
（2）α=180°-β．
理由如下：由圆周角定理得：∠FIE=2∠FDE，
由（1）知：2∠FDE=180°-∠A，
即∠A=180°-2∠FDE，
∴∠A=180°-∠EIF，
由（1）知：2∠FDE=180°-∠A，
∴∠A=180°-2∠FDE=180°-2β，
∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-
1
2（∠ABC+∠ACB），
=180°-
1
2（180°-∠A）=90°+
1
2∠A，
∴∠BIC=α=90°+
1
2（180°-2β），
即α=180°-β．
∴∠IBC=
1
2∠ABC，∠ICB=
1
2∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=
1
2（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，
∴∠IBC+∠ICB=70°，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=110°，
连接IF、IE，
∵圆I是△ABC的内切圆，
∴∠IFA=∠IEA=90°，
∵∠A=40°，
∴∠FIE=360°-∠IFA-∠IEA-∠A=140°，
∴∠EDF=
1
2∠EIF=70°，
答：∠BIC=110°，∠FDE=70°．
（2）α=180°-β．
理由如下：由圆周角定理得：∠FIE=2∠FDE，
由（1）知：2∠FDE=180°-∠A，
即∠A=180°-2∠FDE，
∴∠A=180°-∠EIF，
由（1）知：2∠FDE=180°-∠A，
∴∠A=180°-2∠FDE=180°-2β，
∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-
1
2（∠ABC+∠ACB），
=180°-
1
2（180°-∠A）=90°+
1
2∠A，
∴∠BIC=α=90°+
1
2（180°-2β），
即α=180°-β．
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