两个电阻R1和滑动变阻器R2串联,如何证明R2调到电阻等于R1时,R2的电功率最大?

证明：
令滑动变阻器接入电路电阻的功率Px为因变量,滑动变阻器接入电路电阻Rx为自变量,则
串联电路的总电阻：R总=R1+R2
滑动变阻器接入电路电阻的两端电压为：U2=R2U/(R2+R1)
滑动变阻器接入电路电阻的功率：P2=U2²/R2=[R2²U²/(R2+R1)²] × (1/R2)
即：P2=[R2/(R2+R1)²] U²=[1/(R2+2R1+R²1/R2)] U² .(1)
令Y=R2+2R1+R1²/R2,设R2=x,R1=a,则原式可变为：
y=x+2a+a²/x
=2a+(√x)²+(a/√x)²-2(√x)(a/√x)+2(√x)(a/√x)
=2a+[√x-(a/√x)]²+2(√x)(a/√x)
=4a+[√x-(a/√x)]²
当√x-(a/√x)=0时,上式取得最小值,即当x=a时,y取得最小值,其最小值为4a.
根据上面所设的关系,即当R2=R1时,Y取得最小值,即最小值Y=4R1
而当Y取得最小值时,1/(R2+2R1+R1/R2) 即可取得最大值,则分析上面（1）式可知,此时P2取得最大值,P2的最大值为：P2=U²/4R1
综上所述,当R2=R1时,即滑动变阻器与定值电阻平分电压时,滑动变阻器消耗功率的功率为最大值,其最大值为U²/4R1.
再问： 有简单的方法么，还有滑动变阻器接入电路电阻的功率：P2=U2²/R2=[R2²U²/(R2+R1)²] × (1/R2) 怎么来的？
再答： 就是用这样的方法了。记得去年中考前，老师说：最简单的求极值的方法一步，可用求导数的方法。但似乎要到大学才学习的。
再问： 能用一元二方程的最值做么
再答： y=x+2a+a²/x =2a+(√x)²+(a/√x)²-2(√x)(a/√x)+2(√x)(a/√x) =2a+[√x-(a/√x)]²+2(√x)(a/√x) =4a+[√x-(a/√x)]² 以上这个就是采用二次函数求极值的，运用了配方法。 注意：这一步，其实可以不用换元，只是为了观察起来方便才换元的。即令R1=a，R2=x。