.About the time that schools and others quite reasonably bec

首先,这个句子并不很复杂,是个简单句,但里面其同位语挺麻烦的.我们先做个调整.
一、缩写.
去掉修饰.
About the time,intelligence testing became unpopular.这是主句
所以that后都是time的同位语其补充说明作用.
二、分析
that 后面句子中schools and others（ quite reasonably ）became interested in.这里很清楚schools and others是主语,而下面seeing to it这个整体是分词短语作宾语.（that） all children,（whatever their background）,were fairly treated这句又是it的同位语,it就等于这句.所以这句话主要考察点是同位语.
PS：状语从句的特点是从句充当状语成分,充当时间地点方式的成分
定语从句的话必须要有先行词,很明显分句里不缺少主谓宾任何一个成分,明显不是定从
而同位语更好判断,同位语一般是完整的句子,不缺少任何成分,同时,删除同位语从句,不影响句子意思和表达
我觉得已经写得超级清楚了,祝楼主英语学习顺利!