量子力学中的一个本征值为什么不能对应两个正交的本征函数?一个有限维的矩阵可以存在一个特征值对应多个正交的特征函数的情况.

谁说不可以的啊.一个本征值对应多个本征函数的情况称为简并.只不过教科书总是从最简单的情况讲起而已.在学量子力学之前就会接触的例子是电子壳层,在无外场时同一壳层中所有电子能级简并,同一亚壳层的所有电子总角动量简并.量子力学中第一个接触的例子可能是三维各向同性谐振子的能级简并.
再问： 能给一个数学上的例子吗？比如哪个方程会出现一个本征值对应两个正交的本征函数？谢谢。
再答： 其实最简单的例子就在你唾手可得的地方但你没有注意到而已。 三维空间自由粒子的哈密顿量H=p^2/(2m)=-h^2Δ/(2m)（也即是只有动能项,h应该带一横的） 所有形如 f=exp(ip.x/h)(p,x为矢量 .点乘的)的波函数对于具有同样模但方向不同的动量p给出同样的动能p^2/2m（从经典也很好理解，往各个不同方向跑的但具有同样速度的粒子具有相同的动能） 其实不用考虑三维一维的也有，一个一维波动方程有一个左行波和一个右行波解 当然上面两个例子是“自由”的， 而束缚态的一个最经典的例子是三维谐振子, 一个一维谐振子能量为En=(n+1/2)hw,对应本征函数fn(x) 其则一个三维谐振子总能量为En=(nx+ny+nz+1/2)hw,本征函数f_nx(x)f_ny(y)f_nz(z),对于所有n=nx+ny+nz相等的态来说能量简并。另外一个模型就是氢原子，其处在一个三维中心势场V=-Ke/r中。 你可能注意到了，我举的例子大部分都是三维的。这是因为除了某些偶然情况，一般下要出现简并意味着某种对称性的存在，而三维空间很容易出现的就是三维空间旋转不变性，因此很容易出现简并。而一维自由粒子在两个方向的能量简并可以看成是由于空间反演不变性导致的。