应该说这个标准型看上去不是很舒服,最好先把它转化到
M=diag{D,D,...,D,0,0,...,0}
其中
D=
0 1
-1 0
这步合同变换很容易,按1,n,2,n-1,3,n-2,...的次序重排行列即可
所以问题归结为证明反对称矩阵和上述块对角阵M合同,这样就可以用Gauss消去法.
如果A=0则已经证明
如果A≠0,那么存在一个非零的主子阵
U=
0 A(i,j)
-A(i,j) 0
通过行列重排可以不妨设i=1,j=2,也就是说可以取排列阵P使得
PAP^T =
U V^T
-V W
然后用U进行消去,即取
L =
I 0
VU^{-1} I
得到
LPAP^TL^T =
U 0
0 W+VU^{-1}V^T
由于W+VU^{-1}V^T反对称,可以用归纳假设
这样就证明了A合同于diag{U,D,...,D,0,...,0}
至于U合同于D,这个不用教了吧
