已知函数f（x）=x+1x+alnx的图象上任意一点的切线中，斜率为2的切线有且仅有一条．

（Ⅰ）∵f（x）=x+
1
x+alnx，
∴函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′(x)=1-
1
x2+
a
x=
x2+ax-1
x2．
设函数f（x）在点（x₀，y₀）处的切线的斜率为2，
则

x20+ax0-1

x20=2，
即
x20-ax0+1=0．
欲使该方程在x∈（0，+∞）内有且仅有一根，
应满足

a＞0
△=a2-4=0，解得a=2．
（Ⅱ）g(x)=3x+
1
x+2lnx，其定义域为（0，+∞），
g′(x)=3-
1
x2+
2
x=
3x2+2x-1
x2．g'（x）＞0，解得x＞
1
3；
g'（x）＜0，解得0＜x＜
1
3．
所以函数g（x）的单调递增区间为(
1
3，+∞)，递减区间为(0，
1
3)
所以函数有极小值g(
1
3)=4-2ln3．