问题描述：
已知双曲线x2/a2-y2/b2=1（a大于0,b大于0）的左右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且|PF
已知双曲线x2/a2-y2/b2=1（a大于0,b大于0）的左右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则双曲线的离心率e的最大值为------
答案是5\3
已知双曲线x2/a2-y2/b2=1（a大于0,b大于0）的左右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则双曲线的离心率e的最大值为------
答案是5\3
问题解答：
我来补答
如图所示,P点在双曲线右支上活动,
P点距左准线的距离等于|PF1|/e,P点距右准线的距离等于|PF2|/e,
两者之比等于|PF1|/|PF2|
∴当P点位于双曲线右支与x轴交点时,|PF1|/|PF2|取得最大值：|PF1|/|PF2|=(c+a)/(c-a)=(e+1)/(e-1),（分子分母同除以一个a）
也就是说,当(e+1)/(e-1)＜4时,也有|PF1|/|PF2|＜4
于是,由题中|PF1|=4|PF2|,有(e+1)/(e-1)≥4
对于双曲线有e＞1,所以e+1≥4e-4,e≤5/3
P点距左准线的距离等于|PF1|/e,P点距右准线的距离等于|PF2|/e,
两者之比等于|PF1|/|PF2|
∴当P点位于双曲线右支与x轴交点时,|PF1|/|PF2|取得最大值：|PF1|/|PF2|=(c+a)/(c-a)=(e+1)/(e-1),（分子分母同除以一个a）
也就是说,当(e+1)/(e-1)＜4时,也有|PF1|/|PF2|＜4
于是,由题中|PF1|=4|PF2|,有(e+1)/(e-1)≥4
对于双曲线有e＞1,所以e+1≥4e-4,e≤5/3
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