抛物线的公式过点M（p/2,0）作直线与抛物线y^2=2px交与A,B两点,则1/AM+1/BM=2/p,这个公式如何证

首先,因为过点M的直线与抛物线y^2=2px交于两点,则此直线不可能平行于y轴,故而,我们可以假设过点M的直线方程为y=a(x-p/2).
将此直线方程代入抛物线方程,我们得到交点A(x1,y1)、B(x2,y2)满足如下等式：
(1) a^2*x^2 - (2+a^2)p*x + p^2*a^2/4 = 0
(2) y1^2 = 2p*x1
(3) y2^2 = 2p*x2
而根据线段的定义,AM = √(x1-p/2)^2+y1^2,BM = √(x2-p/2)^2+y2^2.
利用等式(2)(3),我们知道x1,x2≥0,并且AM = √(x1-p/2)^2+2p*x1 = x1+p/2,BM = √(x2-p/2)^2+2p*x2 = x2+p/2.
所以,1/AM+1/BM = 1/(x1+p/2) + 1/(x2+p/2).
通分后,我们得到1/AM+1/BM = (x1+x2+p)/[(x1*x2+x1+x2+p^2/4)].
针对等式(1)利用二次方程维达定理,x1+x2=(2+a^2)p/a^2,x1*x2=p^2/4.
代入1/AM+1/BM,可得,1/AM+1/BM = ((2+a^2)p/a^2+p)/[(2+a^2)p^2/2a^2+p^2/2] = 2/p.