如图所示,三角形ABC中,I是内心,AI的延长线交BC于D,交三角形ABC的外接圆于E.求证；【1】IE=EC;

第一个问题：
∵A、B、E、C共圆,∴∠BAE＝∠ECD.
∵I是△ABC的内心,∴∠BAE＝∠EAC,∴∠ECD＝∠EAC.
∵I是△ABC的内心,∴∠ACI＝∠DCI.
由三角形外角定理,有：∠EIC＝∠EAC＋∠ACI＝∠ECD＋∠DCI＝∠ECI,∴IE＝EC.
第二个问题：
∵∠ECD＝∠EAC、∠CED＝∠AEC,∴△ECD∽△EAC,∴EC/AE＝ED/EC,而IE＝EC,
∴IE/AE＝ED/IE,∴IE^2＝ED·AE.