已知某3个连续正整数的立方和是完全平方数,求证:这3个正整数的算术平均数是4的倍数.

首先观察:若n = 3m,则n³ = 27m³ ≡ 0 (mod 9).
若n = 3m+1,则n³ = 27m³+27m²+9m+1 ≡ 1 (mod 9).
若n = 3m-1,则n³ = 27m³-27m²+9m-1 ≡ -1 (mod 9).
因此一个完全立方数mod 9只能同余于0或±1.
3个连续整数的立方和可设为(x-1)³+x³+(x+1)³ = 3x³+6x = 3x(x²+2).
考虑x和x²+2的最大公约数(x,x²+2).
可知(x,x²+2) = (x,x²+2-x·x) = (x,2) = 1或2.
若(x,x²+2) = 1,即x与x²+2互质.
由3x(x²+2)是完全立方数,又被3整除,可知其被27整除.
于是x(x²+2)被9整除,且x(x²+2)/9是完全立方数.
两个互质的数的乘积为完全立方数的9倍,只有两种可能的形式:
x = 9s³,x²+2 = t³或x = t³,x²+2 = 9s³ (其中t不被3整除,否则二者不互质).
但当x = 9s³,有x²+2 = 81s^6+2 ≡ 2 (mod 9),不为完全立方数.
而当x = t³,有x ≡ ±1 (mod 9),于是x²+2 ≡ (±1)²+2 = 3 (mod 9),同样不为完全立方数,矛盾.
于是只有(x,x²+2) = 2,3x(x²+2)是偶完全立方数,有8 | 3x(x²+2).
然而由x为偶数,可设x = 2y,得x²+2 = 4y²+2 = 2(2y²+1).
即x²+2被2整除但不被4整除,于是4 | 3x,即得4 | x,所证结论成立.