一道数学难题(2009年西城一模最后一题) 希望解释一些最后一问那个排列组合式子

一道数学难题(2009年西城一模最后一题) 希望解释一些最后一问那个排列组合式子
答案可能不详,随便找个网下一下即可,很容易,2009年西城一模
20.（本小题满分14分）
设m>3,对于有穷数列an,令bk为a1,a2…ak中的最大值,称数列bn为an的“创新数列”.数列bn中不相等项的个数称为an的“创新阶数”.例如数列2,1,3,7,5的创新数列为2,2,3,7,7,创新阶数为3.
考察自然数1,2,…m(m〉3） 的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列cn.
（I）若m=5,写出创新数列为3,4,4,5,5的所有数列cn；
（II）是否存在数列cn,使它的创新数列为等差数列?若存在,求出所有的数列cn,若不存在,请说明理由；
（III）在创新阶数为2的所有数列cn中,求它们的首项的和.
（I）解：由题意,创新数列为3,4,4,5,5的数列{cn}有两个,即：
（1）数列3,4,1,5,2； 2分
（2）数列3,4,2,5,1.3分
注：写出一个得2分,两个写全得3分.
（II）答：存在数列{cn},它的创新数列为等差数列
设数列 的创新数列为
因为 为 …,中的最大值
所以
由题意知：为 ,…,中最大值,为 ,,…,,中最大值
所以 ,且
若 为等差数列,设其公差为d,则 ,且
当 时,为常数列,又
所以数列 为m,m,…,m,此时数列 是首项为m的任意一个符合条件的数列；
当d=1时,因为
所以数列 为1,2,3,…,m,此时数列 是1,2,3,…,m 7分
当 时,因为
又 ,
所以
这与 矛盾,所以此时 不存在,即不存在 使得它的创新数列为 的等差数列.
综上,当数列 为：（1）首项为m的任意符合条件的数列；（2）数列1,2,3,…,m时,它的创新数列为等差数列.9分
注：此问仅写出结论（1）（2）者得2分.
（III）解：设 的创新数列为 （n=1,2,…,m）
由（II）知,
由题意,得
所以当数列 的创新阶数为2时,必然为 m,m,…,m（其中 ）
由排列组合知识,得创新数列为k,k,…,k,m,m,…m（k