已知抛物线y^2=2pX(P>0)上有两动点A,B及一个定点M(X0,Y0),F是抛物线的焦点,且AF,MF,BF 的绝

1.设A(x1,y1),B(x2,y2)
它们在抛物线上,所以有：y1^=2px1,y2^=2px2 ①
根据抛物线y^=2px的解析式,必有：x1,x2,x0>0
抛物线准线为：x=-p/2
设A,M,B三点到准线的距离分别是d1,d0,d2
根据抛物线的第二定义：抛物线上的点到焦点的距离一定等于到准线的距离,可知：
|AF|=d1,|MF|=d0,|BF|=d2
∵|AF|,|MF|,|BF|成等差数列
∴|AF|+|BF|=2|MF|
|d1|+|d2|=2|d0|
根据坐标定义,可得：d1=x1+p/2,d0=x0+p/2,d2=x2+p/2 （x1,x0,x2,p都是正值,所以可以脱去绝对值符号）
(x1+p/2)+(x2+p/2)=2(x0+p/2)
x1+x2=2x0 ②
由Q(x0+p,0),A(x1,y1),B(x2,y2),可得：
|AQ|=√{[(x0+p)-x1]^+(y1-0)^}
|BQ|=√{[(x0+p)-x2]^+(y2-0)^}

|AQ|^-|BQ|^=[(x0+p)-x1]^+y1^-[(x0+p)-x2]^-y2^
代入①式,有：
|AQ|^-|BQ|^=(x0+p)^-2x1*(x0+p)+x1^+y1^ -(x0+p)^+2x2*(x0+p)-x2^-y2^
=-2x1x0-2px1+x1^+2px1 +2x2x0+2px2-x2^-2px2
=x1^-x2^ -2x1x0+2x2x0
=(x1+x2)(x1-x2)-2x0(x1-x2)
=(x1+x2-2x0)(x1-x2)
代入②式,得：
|AQ|^-|BQ|^=0
|AQ|=|BQ|
即,Q点到线段AB两端的距离相等,由垂直平分线性质可知：Q点必在线段AB的垂直平分线上!
2.|MF|=d0=|x0+p/2|=x0+p/2
x0+p/2=4 ③
由O(0,0),Q(x0+p,0)
|OQ|=|x0+p|=x0+p
x0+p=6 ④
④-③,得：
p=4
∴抛物线方程为：y^=8x