球体的体积公式的导数是表面积,这是巧合吗?

不是巧合.一个半径为(r+dr)的球体体积V(r+dr) 与一个半径为r的球体体积V(r) 之差等于一个半径为r、厚度为dr的球壳的体积,即
V(r+dr)-V(r) = (4(pi)r^2) * dr
dV/dr = 4(pi)r^2
同理,圆面积对半径的导数等于圆周长.