问题描述: 已知∠ACE=∠CDE=90°,点B在CE上,CA=CB=CD,经A、C、D三点的圆交AB于F(如图).求证:F为△CDE的内心. 1个回答 分类:数学 2014-11-15 问题解答: 我来补答 证明:证法1:如图,连DF,则由已知,∵∠CDF=∠CAB=45°=12∠CDE,∴DF为∠CDE的平分线,连BD、CF,由CD=CB,知∠FBD=∠CBD-45°=∠CDB-45°=∠FDB,得FB=FD,即F到B、D和距离相等,F在线段BD的垂直平分线上,从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上,CF是∠ECD的平分线.∵F是△CDE上两条角平分线的交点,∴就是△CDE的内心.证法2:同证法1,得出∠CDF=45°=90°-45°=∠FDE之后,由于∠ABC=∠FDE,故有B、E、D、F四点共圆.连EF,在证得∠FBD=∠FDB之后,立即有∠FED=∠FBD=∠FDB=∠FEB,即EF是∠CED的平分线.本来,点E的信息很少,证EF为角平分线应该是比较难的,但四点共圆把许多已知信息集中并转移到E上来了,因而证法2并不比证法1复杂.由这个证明可知,F是△DCB的外心.∠CDF=∠CAB=45°=12∠CDE,知DF是∠CDE的平分线,故F是△CDE的内心.证法3:如图,只证CF为∠DCE的平分线.由∠AGC=∠GBA+∠GAB=45°+∠2,∠AGC=∠ADC=∠CAD=∠CAB+∠1=45°+∠1得∠1=∠2.从而∠DCF=∠GCF,得CF为∠DCE的平分线.证法4:首先DF是∠CDE的平分线,故△CDE的外心I在直线DF上.现以CA为y轴、CB为x轴建立坐标系,并记CA=CB=CD=d,则直线AB是一次函数y=-x+d①的图象(如图).若记内心I的坐标为(x1,y1),则x1+y1=CH+IH=CH+HB=CB=d满足①,即I在直线AB上,但I在DF上,故I是AB与DF的交点.由交点的唯一性知I就是F,从而证得F为Rt△CDE的内心.还可延长ED交⊙O于P1,而CP为直径来证. 展开全文阅读