2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题评阅要点
[说明]本要点仅供参考,各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答,自主地进行评阅.
该问题是来自于加油站设备研究与生产企业的一个实际课题,问题由两大部分组成：
（1）为了观察检验罐体变位对罐容表的影响,在已知变位参数的情况下,检测出油位高度和油量的对应数值,建模分析罐容表的变化规律,并给出修正的罐容表,属于“正问题”.
（2）根据实际检测数据,正确识别罐体是如何变位的,具体变了多少?同时要给出罐容表的修正标定方法和结果,属于“反问题”.
具体需要把握以下几个方面：
第一部分：小椭圆型实验罐的有关问题
（1）要明确给出小椭圆型油罐正常体位（无变位）的不同油位高度与储油量的计算模型和公式,正确的结果(具体表达形式不唯一)是：
,
其中 分别为罐体截面椭圆的长半轴、短半轴和罐体长度,为罐内的油位高度.通过代入几何参数计算得到正常（即标准）的罐容表对应值.
表1：正常情况下小椭圆罐的罐容表部分结果
油位高度/cm 油量/L 油位高度/cm 油量/L 油位高度/cm 油量/L 油位高度/cm 油量/L
10 163.59 40 1199.31 70 2489.15 100 3659.88
20 450.27 50 1621.00 80 2910.84 110 3946.55
30 803.54 60 2055.07 90 3306.61 120 4110.15
（2）讨论罐体变位的影响,要求给出纵向倾斜变位后修正模型,用不同方法可能有不同的表达形式,但需要分别考虑罐体两端有油/无油的不同情况.将变位参数代入模型,计算出修正后的罐容表标定值,并与正常的标定值进行比较,分析罐体变位的影响.实际上,对于纵向倾斜变位的影响明显,最大误差在257L以上,平均误差达到190L以上,平均相对误差达30%以上.
表2：小椭圆罐的修正罐容表的部分结果（ ）
油位高度/cm 油量/L 油位高度/cm 油量/L 油位高度/cm 油量/L 油位高度/cm 油量/L
10 70.13 40 965.66 70 2232.50 100 3450.72
20 281.86 50 1371.88 80 2661.42 110 3776.64
30 595.25 60 1798.52 90 3072.43 120 4012.74
第二部分：实际大储油罐的有关问题
（1）根据储油罐纵向的变位方向,对于不同的油位高度,分别考虑油罐的两端有油和一端有油的情况建模分析,可以得到罐内实际储油量 与纵向倾斜变位参数 、横向偏转变位参数 和油位高度 的关系模型,即 .详细的解析模型表述形式比较复杂,重在分析过程,注意油罐两端含油的不同情况.
当然,也可能通过实际数据采用数值方法、工程方法或几何方法等近似方法实现,但应关注引入变位参数的方法和表示形式的合理性.
（2）必须明确给出变位参数的辨识准则.
因为实际罐内油量初值未知,所以罐内储油量的准确值是未知的.由附件2的检测数据可以知道不同时刻的出油量 ,同时可以计算出相应油位高度的改变量 ,并由模型表达式 计算得到实际储油量的改变量Δ ,问题可归结为求解非线性最小二乘问题：
,或 等.
利用附件2中的部分数据（如前半部分）,借助于工具软件或各种数值方法求解得到参数估计值 .其具体的数值用不同的方法会有差别,但结果应是纵向倾斜变位角 略大于2度,横向偏转变位角影响不敏感.
如果直接使用附件2中的显示储油量 和对应的 做参数估计,即求问题
的解,这是不对的,因为 是无变位时的显示储油量.若储油量的体积公式 是正确的,则用该方法得到的参数 值会很小.
如果经分析说明横向偏转变位的影响不大,则可以直接考虑纵向变位的单参数辨识.
（3）根据修正模型 及参数估计值 ,可以得到变位后的罐容表（参见表3）.并利用附件2的实际检测数据（如后半部分）分析检验模型的正确性与方法的可靠性.
表3：变位后储油罐的修正罐容表部分结果（使用参数 ）
油位高度/cm 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
油量/L 354.76 1065.80 2223.04 3702.65 5432.63 7371.38 9487.87 11756.61 14155.51 16664.62
油位高度/cm 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
油量/L 19265.60 21941.18 24674.88 27450.77 30253.25 33066.99 35876.76 38667.27 41423.11 44128.48
油位高度/cm 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300
油量/L 46767.21 49322.44 51776.40 54109.93 56302.12 58329.27 60163.39 61768.90 63093.63 64026.17
**用不同的方法,结果会有误差.
（4）为便于比较计算结果,这里给出实际储油罐无变位情况的罐容表部分标定值（见表4）.
表4：无变位情况下油罐的罐容表部分结果
油位高度/cm 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
油量/L 590.71 1682.06 3101.87 4783.00 6682.45 8767.91 11012.93 13394.65 15892.57 18487.88
油位高度/cm 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
油量/L 21162.92 23900.88 26685.57 29501.18 32332.22 35163.15 37978.76 40763.45 43501.41 46176.46
油位高度/cm 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300
油量/L 48771.78 51269.71 53651.43 55896.45 57981.93 59881.39 61562.53 62982.36 64073.72 64664.45
本参考要点给出的仅是一种可行解决方法,学生可以使用各种数值方法、工程方法和近似处理方法,请根据实际情况评判.
