又一道外国微积分题目,求详解
就做第20题,a和b我做完了,只剩下c和d,做的时候或许要用到前面的已知条件.最后答案是π/2.
(c) J(m)-J(m+1)=∫[0->π/2](sinx)^m(1-sinx)dx
for any x∈(0,π/2),(sinx)^(m)≥0,1-sinx≥0,
hence J(m)≥J(m+1),for any m∈N
And,J(m+1)=[m/(m+1)]*J(m-1),1≤J(m-1)/J(m)
=> m/(m+1)≤[m/(m+1)]*J(m-1)/J(m)=J(m+1)/J(m)≤1
=> lim(m->∞)J(m+1)/J(m)=1
(d) lim(n->∞)(2²/1x3)x(4²/3x5)x...x(2n)²/(2n-1)(2n+1)
=(π/2)lim(n->∞)J(2n+1)/J(2n)
=π/2
再问： 第四行开始不太明白，能解释一下思路吗。还有，d部分那个π/2和J(2n+1)/J(2n)是怎样来的，谢谢！
再答： 由(a)的结论，有J(m+1)=[m/(m+1)]*J(m-1)， ∴J(m+1)/J(m)=[m/(m+1)]*J(m-1)/J(m) ∵J(m-1)/J(m)≥1 ∴J(m+1)/J(m)≥m/(m+1) 又m/(m+1)≤J(m+1)/J(m)≤1，令m->∞，得 1≤lim(m->∞)J(m+1)/J(m)≤1 ∴lim(m->∞)J(m+1)/J(m)=1 由part (b)，直接带入J(2n+1)和J(2n)的表达式，就得到 (π/2)J(2n+1)/J(2n)=(2²/1x3)x(4²/3x5)x...x[(2n)²/(2n-1)(2n+1)] 令n->∞，再由part (c) 即得 lim(n->∞)(2²/1x3)x(4²/3x5)x...x[(2n)²/(2n-1)(2n+1)]=π/2
