为便于书写,解答过程不写"向量"二字.
已知:|a|=|b|=10,
|a-b|^2=(a-b)^2.
=a^2-2ab+b^2.
=a^2-2|a||b|cos<a,b>+b^2.
=10^2-2*10*10cos<a,b>+10^2.
=200-100cos<a,b>.
=100(2-cos<a,b>).
∵两个向量a与b的夹角:0≤<a,b>≤π.
∴|cos<a,b>|≤1.
当 cos<a,b>=-1时,
|a-b|^2=100[2-(-1)]
=300.
∴|a-b|=10√3;
|当cos,a,b>=1时,
|a-b|^2=100(2-1).
=100.
|a-b|=10.
∴10≤|a-b|≤10√3. ---即为所求.
2. |a+b|^2=|a-b|^2+4ab.
ab=|a||b|cos<a,b>
|a+b|^2=10^2+4*6*8cos<a,b>.
=100+192coa<a,b>.
∴ |a+b|=√(100+192cos<a,b>) [若给出<a ,b>,就可求出|a+b|的确定值]
3.设D(m,n)为线段AB的中点,则 m=(-1+2)/2=1/2, n=(-1/2+3)/2=5/4.
∴D(1/2,5/4).
设三角形ABC的顶点C的坐标为C(x,y).
三角形的重心G(1,1/2),是向量CD的定分点.其定分比λ=|CG|/|GD|=2/1=2. [G(1,1/2),D(1/2.5/4)]
向量CG=向量λGD .
CG=(1-x,1/2-y), GD=(1/2-1,5/4-1/2)=(-1/2,3/4)
(1-x,1/2-y)=2(-1/2,3/4)
=(-1,3/2).
1-x=-1, x=2,
1/2-y=3/2.
y=-1
∴顶点C的坐标为C(2,-1).
4.设P点的坐标为P(m,n). [yzhO(0,0),A(6,3)]
向量OP=(m,n), 向量PA=(6-m,3-n).
∵PA=2OP, (6-m,3-n)=2(m,n).
6-m=2m, 3m=6, m=2;
3-n=2n, 3n=3, n=1.
∴P(2,1).
设B点的坐标为B(x,y).
∵P点是线段OB的中点,
∴(x+0)/2=2, x=4;
(y+0)/2=1, y=2.
∴B点的坐标为B(4,2).
5. 已知向量a=(1,2),向量b=(1,1),...
a+βb=(1+β ,2+β).
|a|=√5,
|a+βb|=√((1+2β+β^2+4+4β+β^2)
=√(2β^2+6β+5)
设向量a与向量(a+βb)的夹角为<a ,a+βb>,且0≤<a,a+βb＜π/2. 0<cos<a,a+βb>≤1
由向量公式得:
cos<a,a+βb>=[a.(a+βb)]/|a||a+βb|.
0<a.(a+ βb)/(|a||a+βb|)≤1.
0<(a^2+βab)≤√(2β^2+6β+5).
由向量a,b的坐标,可以算出cos<a,b>≈0.9487.
(5+0.95√10*β)≤√(2β^2+6β+5).
(5+3β)^2≤2β^2+6β+5.
25+30β+ 9β^2≤2β^2+6β+5.
7β^2+24β+20≤0.
取 7β^2+24β+20=0.
解得β=-2,或β=-10/7.
