重心到三角形3个顶点距离平方的和最小.一定要用向量证法!求证明!

设 G 是三角形 ABC 的重心,P 是平面上任一点,
则 |PA|^2+|PB|^2+|PC|^2
=|PG+GA|^2+|PG+GB|^2+|PG+GC|^2
=3|PG|^2+(|GA|^2+|GB|^2+|GC|^2)+2(PG*GA+PG*GB+PG*GC)
=3|PG|^2+(|GA|^2+|GB|^2+|GC|^2)+2PG*(GA+GB+GC)
=3|PG|^2+(|GA|^2+|GB|^2+|GC|^2)+2PG*0（GA+GB+GC=0 向量,这是重心的充要条件）
=3|PG|^2+(|GA|^2+|GB|^2+|GC|^2)
>=|GA|^2+|GB|^2+|GC|^2 ,
当且公当 |PG|=0 即 P 与 G 重合时,P 到三角形 ABC 的距离的平方和最小.